高三理科數學(xué)算法初步復習教案
高三理科數學(xué)算法初步復習教案
高考導航
考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望
1.了解算法的含義,了解算法的思想.
2.理解程序框圖的三 種基本邏輯結構:順序結構、條件結構、循環(huán)結構.
3.理解幾種基本算法語(yǔ)句輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句的含義.
4.了解幾個(gè)古代的算法案例,能用輾轉相除法及更相減損術(shù)求最大公約數;用秦九韶算法求多項式的值;了解進(jìn)位制,會(huì )進(jìn)行不同進(jìn)位制之間的轉化. 本章重點(diǎn):1.算法的三種基本邏輯結構即順序結構、條件結構和循環(huán)結構;2.輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句(兩種形式)的結構、作用與功能及各種語(yǔ)句的格式要求.
本章難點(diǎn):1.用自然語(yǔ)言表示算法和運用程序框圖表示算法;2.用算法的基本思想編寫(xiě)程序解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.弄清三種基本邏輯結構的區別,把握程序語(yǔ)言中所包含的一些基本語(yǔ)句結構 . 算法初步作為數學(xué)新增部分,在高考中一定會(huì )體現出它的重要性和實(shí)用性.
高考中將重點(diǎn)考查對變量賦值的理解和掌握、對條件結構和循環(huán)結構的靈活運用,學(xué)會(huì )根據要求畫(huà)出程序框圖;預計高考中,將考查程序框圖、循環(huán)結構和算法思想,并結合函數與數列考查邏輯思維能力.因此算法知識與其他知識的結合將是高考的重點(diǎn),這也恰恰體現了算法的普遍性、工具性,當然難度不會(huì )太大,重在考查算法的概念及其思想.
1.以選擇題、填空題為主,重點(diǎn)考查算法的含義、程序框圖、基本算法語(yǔ)句以及算法案例等內容.
2.解答題中可要求學(xué)生設計一個(gè)計算的程序并畫(huà)出程序框圖,能很好地考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
知識網(wǎng)絡(luò )
11.1 算法的含義與程序框圖
典例精析
題型一 算法的含義
【例1】已知球的表面積是16,要求球的體積,寫(xiě)出解決該問(wèn)題的一個(gè)算法.
【解析】算法如下:
第一步,s=16.
第二步,計算R=s4.
第三步,計算V=4R33.
第四步,輸出V.
【點(diǎn)撥】給出一個(gè)問(wèn)題,設計算法應該注意:
(1)認真分析問(wèn)題,聯(lián)系解決此問(wèn)題的一般數學(xué)方法,此問(wèn)題涉及到的各種情況;
(2)將此問(wèn)題分成若干個(gè)步驟;
(3)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)句將各步表述出來(lái).
【變式訓練1】設計一個(gè)計算 135791113的算法.圖中給出程序的一部分,則在橫線(xiàn)①上不能填入的數是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】當I13成立時(shí),只能運算
1357911.故選A.
題型二 程序框圖
【例2】圖一是某縣參加2010年高考的學(xué)生身高條形統計圖,從左到右的各條形表示的學(xué)生人數依次記為A1,A2,,A10(如A2表示身高(單位:cm)在[150,155)內的學(xué)生人數).圖二是統計圖一中身高在一定范圍內學(xué)生人數的一個(gè)算法流程圖.現要統計身高在160~180 cm(含160 cm,不含180 cm)的學(xué)生人數,那么在流程圖中的判斷框內應填寫(xiě)的條件是()
A.i6? B.i7? C.i8? D.i9?
圖一
【解析】根據題意可知,i的初始值為4,輸出結果應該是A4+A5+A6+A7,因此判斷框中應填寫(xiě)i8?,選C.
【點(diǎn)撥】本題的命題角度較為新穎,信息量較大,以條形統計圖為知識點(diǎn)進(jìn)行鋪墊,介紹了算法流程圖中各個(gè)數據的引入來(lái)源,其考查點(diǎn)集中于循環(huán)結構的終止條件的判斷,考查了學(xué)生合理地進(jìn)行推理與迅速作出判斷的解題能力,解本題的過(guò)程中不少考生誤選A,實(shí)質(zhì)上本題中的數據并不大,考生完全可以直接從頭開(kāi)始限次按流程 圖循環(huán)觀(guān)察,依次寫(xiě)出每次循環(huán)后的變量的賦值,即可得解.
【變式訓練2】(2009遼寧)某店一個(gè)月的收入和支出,總共記錄了 N個(gè)數據a1,a2,,aN.其中收入記為正數,支出記為負數,該店用如圖所示的程序框圖計算月總收入S和月凈盈利V,那么在 圖中空白的判斷框和處理框中,應分別填入下列四個(gè)選項中的()
A.A0?,V=S-T
B.A0?,V=S-T
C.A0?,V=S+T
D.A0?,V=S+T
【解析】選C.
題型三 算法的條件結構
【例3】某快遞公司規定甲、乙兩地之間物品的托運費用根據下列方法計算:
f=
其中f(單位:元)為托運費,為托運物品的重量(單位:千克),試寫(xiě)出一個(gè)計算費用f的算法,并畫(huà)出相應的程序框圖.
【解析】算法如下:
第一步,輸入物品重量.
第二步,如果50,那么f=0.53,
否則,f=500.53+(-50)0.85.
第三步,輸出托運費f.
程序框圖如圖所示.
【點(diǎn)撥】求分段函數值的算法應用到條件結構,因此在程序框圖的畫(huà)法中需要引入判斷框,要根據題目的要求引入判斷框的個(gè)數,而判斷框內的條件不同,對應的框圖中的內容或操作就相應地進(jìn)行變化.
【變式訓練3】(2010天津)閱讀如圖的程序框圖,若輸出s的值為-7,則判斷框內可填寫(xiě)()
A.i3?
B.i4?
C.i5?
D.i6?
【解析】i=1,s=2-1=1;
i=3,s=1-3=-2;
i=5,s=-2-5=-7.所以選D.
題型四 算法的循環(huán)結構
【例4】設計一個(gè)計算10個(gè)數的平均數的算法,并畫(huà)出程序框圖.
【解析】算法步驟如下:
第一步,令S=0.
第二步,令I(lǐng)=1.
第三步,輸入一個(gè)數G.
第四步,令S=S+G.
第五步,令I(lǐng)=I+1.
第六步,若I10,轉到第七步,
若I10,轉到第三步.
第七步,令A=S/10.
第八步,輸出A.
據上述算法步驟,程序框圖如圖.
【點(diǎn)撥】(1)引入變量S作為累加變量,引入I為計數變量,對于這種多個(gè)數據的處理問(wèn)題,可通過(guò)循環(huán)結構來(lái)達到;(2)計數變量用于記錄循環(huán)次數,同時(shí)它的取值還用于判斷循環(huán)是否終止,累加變量用于輸出結果.
【變式訓練4】設計一個(gè)求12310的程序框圖.
【解析】程序框圖如下面的圖一或圖二.
圖一 圖二
總結提高
1.給出一個(gè)問(wèn)題,設計算法時(shí)應注意:
(1)認真分析問(wèn)題,聯(lián)系解決此問(wèn)題的一般數學(xué)方法;
(2)綜合考慮此類(lèi)問(wèn)題中可能涉及的各種情況;
(3)借助有關(guān)的變量或參數對算法加以表述;
(4)將解決問(wèn)題的過(guò)程劃分為若干個(gè)步驟;
(5)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將各個(gè)步驟表示出來(lái).
2.循環(huán)結構有兩種形式,即當型和直到型,這兩種形式的循環(huán)結構在執行流程上有所不同,當型循環(huán)是當條件滿(mǎn)足時(shí)執行循環(huán)體,不滿(mǎn)足時(shí)退出循環(huán)體;而直到型循環(huán)則是當條件不滿(mǎn)足時(shí)執行循環(huán)體,滿(mǎn)足時(shí)退出循環(huán)體.所以判斷框內的條件,是由兩種循環(huán)語(yǔ)句確定的,不得隨便更改.
3.條件結構主要用在一些需要依據條件進(jìn)行判斷的算法中.如分段函數的求值,數據的大小關(guān)系等問(wèn)題的算法設計.
11.2 基本算法語(yǔ)句
典例精析
題型一 輸入、輸出與賦值語(yǔ)句的應用
【例1】閱讀程序框圖(如下圖),若輸入m=4,n=6,則輸出a= ,i= .
【解析】a=12,i=3.
【點(diǎn)撥】賦值語(yǔ)句是一種重要的基本語(yǔ)句,也是程序必不可少的重要組成部分,使用賦值語(yǔ)句,要注意其格式要求.
【變式訓練1】(2010陜西)如圖是求樣本x1,x2,,x10的平均數 的程序框圖,則圖中空白框中應填入的內容為()
A.S=S+xn B.S= S+xnn C.S=S+n D.S=S+ 1n
【解析】因為此步為求和,顯然為S=S+xn,故選A.
題型二 循環(huán)語(yǔ)句的應用
【例2】設計算法求112+123+134++199100的值.要求畫(huà)出程序框圖,寫(xiě)出用基本語(yǔ)句編寫(xiě)的程序.
【解析】這是一個(gè)累加求和問(wèn)題,共99項相加,可設計一個(gè)計數變量,一個(gè)累加變量,用循環(huán)結構實(shí)現這一算 法.程序框圖如下圖所示:
程序如下:
s=0
k=1
DO
s=s+1/(k* (k+1))
k=k+1
LOOP UNTIL k99
PRINT s
END
【點(diǎn)撥】(1)在用WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句編寫(xiě)程序解決問(wèn)題時(shí),一定要注意格式和條件的表述方法,WHILE語(yǔ)句是當條件滿(mǎn)足時(shí)執行循環(huán)體,UNTIL語(yǔ)句是當條件不滿(mǎn)足時(shí)執行循環(huán)體.
(2)在解決一些需要反復執行的運算任務(wù),如累加求 和、累乘求積等問(wèn)題中應注意考慮利用循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現.
(3)在循環(huán)語(yǔ)句中,也可以嵌套條件語(yǔ)句,甚至是循環(huán)語(yǔ)句,此時(shí)需要注意嵌套的這些語(yǔ)句,保證語(yǔ)句的完整性,否則就會(huì )造成程序無(wú)法執行.
【變式訓練2】下圖是輸出某個(gè)有限數列各項的程序框圖,則該框圖所輸出的最后一個(gè)數據是.
【解析】由程序框圖可知,當N=1時(shí),A=1;N=2時(shí),A=13;N=3時(shí),A=15,,即輸出各個(gè)A值的分母是以1為首項以2為公差的等差數列,故當N=50時(shí),A=11+(50-1)2=199,即為框圖最后輸出的一個(gè)數據.故填199.
題型三 算法語(yǔ)句的實(shí)際應用
【例3】某電信部門(mén)規定:撥打市內電話(huà)時(shí),如果通話(huà)時(shí)間3分鐘以?xún)龋杖⊥ㄔ?huà)費0.2元,如果通話(huà)時(shí)間超過(guò)3分鐘,則超過(guò)部分以每分鐘0.1元收取通話(huà)費(通話(huà)不足1分鐘時(shí)按1分鐘計算).試設計一個(gè)計算通話(huà)費用的算法,要求寫(xiě)出算法,編寫(xiě)程序.
【解析】我們用c(單位:元)表示通話(huà)費,t(單位:分鐘)表示通話(huà)時(shí)間,
則依題意有
算法步驟如下:
第一步,輸入通話(huà)時(shí)間t.
第二步,如果t3,那么c=0.2;否則c=0.2+0.1[t-2].
第三步,輸出通話(huà)費用c.
程序如下:
INPUT t
IF t3 THEN
c=0.2
ELSE
c=0.2+0.1*INT(t-2)
END IF
PRINT c
END
【點(diǎn)撥】在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),要正確理解其中的算法思想,根據題目寫(xiě)出其關(guān)系式,再寫(xiě)出相應的算法步驟,畫(huà)出程序框圖,最后準確地編寫(xiě)出程序,同時(shí)要注意結合題意加深對算法的理解.
【變式訓練3】(2010江蘇)下圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出S的值是.
【解析】n=1時(shí),S=3;n=2時(shí),S=3+4=7;n=3時(shí),S=7+8=15;n=4時(shí),S=15+24=31;n=5時(shí),S=31+25=63.因為6333,所以輸出的S值為63.
總結提高
1.輸入、輸出語(yǔ)句可以設計提示信息,加引號表示出來(lái),與變量之間用分號隔開(kāi).
2.賦值語(yǔ)句的賦值號左邊只能是變量而不能是表達式;賦值號左右兩邊不能對換,不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數式計算,利用賦值語(yǔ)句可以實(shí) 現兩個(gè)變量值的互換,方法是引進(jìn)第三個(gè)變量,用三個(gè)賦值語(yǔ)句完成.
3.在某些算法中,根據需要,在條件語(yǔ)句的THEN分支或ELSE分支中又可以包含條件語(yǔ)句.遇到這樣的問(wèn)題,要分清內外條件結構,保證結構的完整性.
4.分清WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句的格式,在解決一些需要反復執行的運算任務(wù),如累加求和,累乘求積等問(wèn)題中應主要考慮利用循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現,但也要結合其他語(yǔ)句如條件語(yǔ)句.
5.編程的一般步驟:
(1)算法分析;(2)畫(huà)出程序框圖;(3)寫(xiě)出程序.
11.3 算法案例
典例精析
題型一 求最大公約數
【例1】(1)用輾轉相除法求840與1 764的最大公約數;
(2)用更相減損術(shù)求440與556的最大公約數.
【解析】(1)用輾轉相除法求840與1 764的最大公約數:
1 764=8402+84,
840=8410+0.
所以840與1 764的最大公約數是84.
(2)用更相減損術(shù)求440與556的最大公約數:
556-440=116,
440-116=324,
324-116=208,
208-116=92,
116-92=24,
92-24=68,
68-24=44,
44-24=20,
24-20=4,
20-4=16,
16-4=12,
12-4=8,
8-4=4.
所以440與556的最大公約數是4.
【點(diǎn)撥】(1)輾轉相除法與更相減損術(shù)是求兩個(gè)正整數的最大公約數的方法,輾轉相除法用較大的數除以較小的數,直到大數被小數除盡結 束運算,較小的數就是最大公約數;更相減損術(shù)是用兩數中較大的數減去較小的數,直到所得的差和較小數相等為止,這個(gè)較小數就是這兩個(gè)數的最大公約數.一般情況下,輾轉相除法步驟較少,而更相減損術(shù)步驟較多,但運算簡(jiǎn)易,解題時(shí)要靈活運用.
(2)兩個(gè)以上的數求最大公約數,先求其中兩個(gè)數的最大公約數,再用所得的公約數與其他各數求最大公約數即可.
【變式訓練1】求147,343,133的最大公約數.
【解析】先求147與343的最大公約數.
343-147=196,
196-147=49,
147-49=98,
98-49=49,
所以147與343的最大公約數為49.
再求49與133的最大公約數.
133-49=84,
84-49=35,
49-35=14,
35-14=21,
21-14=7,
14-7=7.
所以147,343,133的最大公約數為7.
題型二 秦九韶算法的應用
【例2】用秦九韶算 法寫(xiě)出求多項式f(x)=1+x+0.5x2+0.016 67x3+0.041 67x4+0.008 33x5在x=-0.2時(shí)的值的過(guò)程.
【解析】先把函數整理成f(x)=((((0.008 33x+0.041 67)x+0.166 67)x+0.5)x+1)x+1,
按照從內向外的順序依次進(jìn)行.
x=-0.2,
a5=0.008 33, v0=a5=0.008 33;
a4=0.041 67, v1=v0x+a4=0.04;
a3=0.016 67, v2=v1x+a3=0.008 67;
a2=0.5, v3=v2x+a2=0.498 27;
a1=1, v4=v3x+a1=0.900 35;
a0=1, v5=v4x+a0=0.819 93;
所以f(-0.2)=0.819 93.
【點(diǎn)撥】秦九韶算法是多項式求值的最優(yōu)算法,特點(diǎn)是:
(1)將高次多項式的求值化為一次多項式求值;
(2)減少運算次數,提高效率;
(3)步驟重復實(shí)施,能用計算機操作.
【變式訓練2】用秦九韶算法求多項式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1當x=2時(shí)的值為.
【解析】1 397.
題型三 進(jìn)位制之間的轉換
【例3】(1)將101 111 011(2)轉化為十進(jìn)制的數;
(2)將53(8)轉化為二進(jìn)制的數.
【解析】(1)101 111 011(2)=128+027+126+125+124+123+022+121+1=379.
(2)53(8)=581+3=43.
所以53(8)=101 011(2).
【點(diǎn)撥】將k進(jìn)制數轉換為十進(jìn)制數,關(guān)鍵是先寫(xiě)成冪的積的形式再求和,將十進(jìn)制數轉換為k進(jìn)制數,用除k取余法,余數的書(shū)寫(xiě)是由下往上,順序不能顛倒,k進(jìn)制化為m進(jìn)制(k,m10),可以用十進(jìn)制過(guò)渡.
【變式訓練3】把十進(jìn)制數89化為三進(jìn)制數.
【解析】具體的計算方法如下:
89=329+2,
29=39+2,
9=33+0,
3=31+0,
1=30+1,
所以89(10)=10 022(3).
總結提高
1.輾轉相除法和更相減損術(shù)都是用來(lái)求兩個(gè)數的最大公約數的方法.其算法不同,但二者的原理卻是相似的,主要區別是一個(gè)是除法運算,一個(gè)是減法運算,實(shí)質(zhì)都是一個(gè)遞推的過(guò)程.用秦九韶算法計算多項式的值,關(guān)鍵是正確的將多項式改寫(xiě),然后由內向外,依次計算求解.
2.將k進(jìn)制數轉化為十進(jìn)制數的算法和將十進(jìn)制數轉化為k進(jìn)制數的算法操作性很強,要掌握算法步驟,并熟練轉化;要熟練應用除基數,倒取余,一直除到商為0.
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