數學(xué)不等式的證明教案
數學(xué)不等式的證明教案
教學(xué)目標
1．進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；
2．了解作商比較法證明不等式；
3．提高學(xué)生解題時(shí)應變能力.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的應用
教學(xué)難點(diǎn) 常見(jiàn)解題技巧
教學(xué)方法 啟發(fā)引導式
教學(xué)活動(dòng)
（一）導入新課
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（復習提問(wèn)），請三位同學(xué)回答問(wèn)題，教師點(diǎn)評．
（學(xué)生活動(dòng)）思考問(wèn)題，回答．
［字幕］1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2．比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？
3．用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？
[點(diǎn)評]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對差式的變形．在我們所學(xué)的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節課我們將繼續學(xué)習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用．（板書(shū)課題）
設計意圖：復習鞏固已學(xué)知識，銜接新知識，引入本節課學(xué)習的內容．
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）提出問(wèn)題，引導學(xué)生研究解決問(wèn)題，并點(diǎn)評．
（學(xué)生活動(dòng)）嘗試解決問(wèn)題．
[問(wèn)題]
1．化簡(jiǎn)
2．比較 與 （ ）的大小．
（學(xué)生解答問(wèn)題）
［點(diǎn)評］
①問(wèn)題1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化．
②通過(guò)學(xué)習比較法證明不等式，我們不難發(fā)現，比較法的思想方法還可用來(lái)比較兩個(gè)式子的大小．
設計意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生研究問(wèn)題，建立新知，形成新的知識體系．
【例題示范，學(xué)會(huì )應用】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（例題），引導、啟發(fā)學(xué)生研究問(wèn)題，井點(diǎn)評解題過(guò)程．
（學(xué)生活動(dòng)）分析，研究問(wèn)題．
［字幕］例題3 已知a，b是正數，且 ，求證
［分析］依題目特點(diǎn)，作差后重新組項，采用因式分解來(lái)變形．
證明：（見(jiàn)課本）
［點(diǎn)評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個(gè)因式的積的形式，在確定符號中，表達過(guò)程較復雜，如何書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，例3給出了一個(gè)好的示范．
［點(diǎn)評］解這道題在判斷符號時(shí)用了分類(lèi)討論，分類(lèi)討論是重要的數學(xué)思想方法．要理解為什么分類(lèi)，怎樣分類(lèi)．分類(lèi)時(shí)要不重不漏．
［字幕］例5甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一條路線(xiàn)走到同一地點(diǎn)．甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果，問(wèn)甲、乙兩人誰(shuí)先到達指定地點(diǎn)．
[分析]設從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為，甲、乙兩人走完這段路程用的時(shí)間分別為 ，要回答題目中的問(wèn)題，只要比較 、的大小就可以了．
解：（見(jiàn)課本）
［點(diǎn)評］此題是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，學(xué)習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題．要培養自己學(xué)數學(xué)，用數學(xué)的良好品質(zhì)．
設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類(lèi)討論確定符號的方法．培養學(xué)生應用知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力．
【課堂練習】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（練習），要求學(xué)生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時(shí)糾正；點(diǎn)評練習中存在的問(wèn)題．
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學(xué)板演．
［字幕］練習：1．設 ，比較 與 的大小．
2．已知 ，求證
設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用．靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類(lèi)討論確定符號．反饋信息，調節課堂教學(xué)．
【分析歸納、小結解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題的解題過(guò)程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟．
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結，并記錄在筆記本上．
1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個(gè)式子大小的一種重要方法．
2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．
3．會(huì )用分類(lèi)討論的方法確定差式的符號．
4．利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟：①類(lèi)比列方程解應用題的步驟．②分析題意，設未知數，找出數量關(guān)系（函數關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答．
設計意圖：培養學(xué)生分析歸納問(wèn)題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系．
（三）小結
（教師活動(dòng)）教師小結本節課所學(xué)的知識及數學(xué)思想與方法．
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結，并記錄筆記．
本節課學(xué)習了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類(lèi)討論法；應用比較法的思想解決實(shí)際問(wèn)題．
通過(guò)學(xué)習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問(wèn)題簡(jiǎn)化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學(xué)思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學(xué)習中繼續積累方法，培養用數學(xué)知識解決實(shí)際問(wèn)題的能力．
設計意圖：培養學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識，領(lǐng)會(huì )化歸、類(lèi)比、分類(lèi)討論的重要數學(xué)思想方法．
（四）布置作業(yè)
1．課本作業(yè)：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3．研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來(lái)回行駛一次的時(shí)間和船在靜水中來(lái)回行駛一次的時(shí)間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設計意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類(lèi)討論的思想．研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，用數學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，提高應用數學(xué)的能力．
（五）課后點(diǎn)評
1．教學(xué)評價(jià)、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發(fā)引導，講練結合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現學(xué)生主體地位，通過(guò)啟發(fā)誘導學(xué)生深入思考問(wèn)題，解決問(wèn)題，反饋學(xué)習信息，調節教學(xué)活動(dòng)．
2．教學(xué)措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學(xué)習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類(lèi)討論確定符號，例5使學(xué)生對所學(xué)的知識會(huì )應用．例題設計目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會(huì )應用。
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